①SkeletonAnimationの指定したTrackIndexの名前を取得する方法
例
TargetSkeletonのTrackIndex、10のAnimationの名前を取得したい
//error
TargetSkeleton.GetComponent<SkeletonAnimation>().state.Tracks[10].ToString();

次のように、アクセス演算子[]を Tracks.Itemsに適用する必要があります。
The access operator [ ] needs to be applied to Tracks.Items, like this:

var entry0 = animationState.Tracks.Items[0];
var entry1 = animationState.Tracks.Items[1];
string name0 = entry0.ToString();
string name1 = entry1.ToString();

②
SkeletonAnimationに該当の名前のAnimationが存在するか調べる方法

例
TargetSkeletonに(Attack2)というアニメーションが存在するか調べたい

次のように、 .Dataプロパティを介して、インスタンスに依存しない共有データをクエリできます。
You can query shared instance-independent data via the .Data properties, like this:

skeletonAnimation.Skeleton.Data.Animations.Exists(x => x.name == "animationName");

また、よかったらSpineのリファレンスについて、
日本語のサイトも考えてもらえると助かります。
よろしくおねがいします。

ランタイムAPIで日本語の翻訳がまだ利用できないことを残念に思います！
We are sorry that Japanese translations are not yet available for the runtime API!